今日聞いた話

2×2の実行列をAとしたときに、行列指数関数e^Aって定義できるんですけど、

A=(0 -θ)
　 θ 0
っておくと(心の眼で行列って見てください())、e^Aっていうのが実は原点中心のθ回転の操作を表す行列になるんですね？これを今日知っていやマジかほえーってなったんですよ。
聞いた話なんですが、ざっくりとした流れを話すと、単位行列の実数倍と行列Aの直和によって作られる部分線形空間と複素数空間の間に同型写像が((1,i)をそれぞれの基底に飛ばすーみたいにして)作れるので、あとはEulerの公式から性質保つことからさっくり回転行列になるみたいなんです。ちゃんとした証明を見てみたかったりするので、知っている方は教えてください。お願いします。
どうやったらこんな証明を思いつくんだろうって考えたんですが、あれですかね、eあるし行列だし、だったら線形空間と複素数空間が同型みたいな話使って上手に出来るっぽい？みたいな感じなんですかね……。いや賢いなーって思います。